Ljepota i moć matematičkih istina impresionirale su i zapanjile čovječanstvo otkako su otkrivene. U jednom trenutku, matematika je bila gotovo cijenjena kao vrhovna istina… sve dok matematičar nije naišao na dokaz koji je ukazivao na još više.
Otkako su Adam i Eva odbacili Božji autoritet, čovječanstvo je tražilo izvor konačne istine mimo Njega. Ova potraga – da se Bog zamijeni drugom istinom – dovela je do mnogih čudnih obrata tokom milenijuma. Ali jedan od najfascinantnijih je bio pokušaj da se Bog zamijeni „čistim razumom“ ili logikom.
Taj napor je bio dostigao svoj prvi vrhunac u vrijeme starih Grka, ali je ponovo podigao glavu u poslednjih nekoliko vjekova. U jednom trenutku, činilo se da su neki od vodećih svjetskih umova blizu postizanja svog cilja. Ironično, još jedan matematičar je uskočio da dokaže da oni to nikada neće dostići! Ovaj matematičar je dokazao da u svakom datom matematičkom sistemu moraju postojati istiniti iskazi koji se ne mogu dokazati unutar tog sistema. Dakle, matematika ne može biti krajnji temelj za istinu; mora da se poziva na nešto izvan sebe.
Ta lekcija za hrišćane je uzbudljiva. Koliko god ljudi pokušavali da opovrgnu ili zaobiđu Boga kao temelj za svu istinu i život, Njegova vječna moć i priroda blistaju još jasnije. Sam napor da se On uništi samo podsjeća pogrešne ljude, svojim vlastitim naporima, da Bog dobija konačnu slavu, čak i u mentalnom svijetu matematike i logike.
Bog i matematika: grčko obožavanje beskonačnosti prirodnih brojeva
Matematika je kroz istoriju nudila poglede beskonačnosti koji usmjeravaju čovjekovu pažnju na Boga. Međutim, ljudi u svom buntovnom stanju ne žele čak ni tračak Boga jer potiskuju istinu u nepravednosti (Rimljanima 1:18).
U staroj Grčkoj, Pitagora (572–492 p.n.e.) je izabrao da obožava beskonačnost prirodnih (računskih) brojeva umesto Boga.
Pitagora je najpoznatiji po dokazivanju matematičke teoreme koja se sada zove po njemu: a2 + b2 = c2, gdje su a, b i c stranice pravouglog trougla. Posebno su ga oduševili prirodni brojevi (1, 2, 3 itd.), koji se mogu opisati kao dužine stranica na pravouglim trouglovima. Neki prirodni brojevi zadovoljavaju njegovu teoremu, kao što su 3, 4, 5 i 5, 12, 13. (Ove trojke se sada zovu Pitagorine trojke u njegovu čast.) Platon (429–348 p.n.e.) nastavio je ovu fascinaciju svojstvima prirodnih brojeva. Vidio je jasne kontraste između nesavršenog, fizičkog svijeta oko nas i savršenog, apstraktnog svijeta ideja. Njegov oblik apstraktnog obožavanja misli nazvan je platonizam.
Ipak, Pitagora i Platon su se spotaknuli oko granica svog boga. Koristeći Pitagorinu teoremu, prepoznali su da kada je a = 1 i b = 1, tada c (kvadratni korijen od 2) nije prirodan broj i ne može se čak ni napisati kao razlomak (omjer dva prirodna broja). Prirodni brojevi nisu konačna istina. To ih je zbunilo i naljutilo, ali nije promijenilo njihovo mišljenje o brojevima.
Moderno obožavanje logike
Slično tome, evropsko prosvjetiteljstvo je iznjedrilo gomilu filozofa-matematičara u kasnim 1800-im i ranim 1900-ima koji su obožavali logiku i razum kao konačni izvor istine. Gotlob Frege (1848–1925), Bertran Rasel (1872–1970) i Alfred Nord Vajthed (1861–1947) promovisali su logiku kao ultimativnu osnovu za matematiku. Njihova filozofija matematike zvala se logicizam jer je pokušavala da dokaže svaku matematičku činjenicu samo na osnovu logike.
U Principia Mathematica (1910–1913), Rasel i Vajthed su samo logikom dokazali da je 1 + 1 = 2. Odavde su se nadali da će dokazati svaku drugu matematičku činjenicu. Do 1920. mislili su da se približavaju.
David Hilbert (1862–1943) otišao je korak dalje 1920-ih. Pošto je logiku smatrao granom matematike, tvrdio je da je matematika samozavisna. Drugim riječima, nije se morao pozivati na bilo koji autoritet izvan sebe kako bi dokazao bilo koju od svojih tvrdnji o istinitosti. To je navodno učinilo matematiku autonomnom (svoj vlastiti konačni autoritet, nezavisan od svih vanjskih autoriteta), poput samog Boga. Hilbertova filozofija matematike, nazvana formalizam, promovisala je matematiku kao vlastiti temelj i postavila za cilj apsolutno znanje.[1]
Malo je savremenih čitalaca koji shvataju koliko su ove misli bile i jesu uticajne. Matematika se smatrala potpuno poznatom. Ovi ljudi su vjerovali da će jednog dana i svaka poslednja teorema biti dokazana, a onda će sva matematika biti dokazana i poznata. Ovo samopouzdanje je bilo paralelno u naukama u kojima su mnogi naučnici mislili da će na kraju naučiti sve i da će čovječanstvo doći do poslednjeg zamislivog otkrića.
Godelova teorema
Godine 1931. ove lažne filozofije matematike srušile su se u prašinu kada je Godel dokazao svoju teoremu neodlučnosti. Kurt Gödel (1906–1978) je dokazao da nijedan logički sistem (ako uključuje brojeve za računanje) ne može imati sva tri od sledećih svojstava.
- Validnost – svi zaključci se donose valjanim obrazloženjem.
- Konzistentnost – nijedan zaključak nije u suprotnosti sa bilo kojim drugim zaključcima.
- Kompletnost – sve izjave date u sistemu su ili tačne ili netačne.
Detalji su ispunili knjigu, ali osnovni koncept je bio jednostavan i elegantan. On je to sažeo na ovaj način: „Sve oko čega možete nacrtati krug ne može se objasniti bez pozivanja na nešto izvan kruga – nešto što morate pretpostaviti, ali ne možete dokazati.“ Zbog toga se njegov dokaz naziva i Teorema o nepotpunosti.
Kurt Godel je bacio bombu na temelje matematike. Matematika nije mogla igrati ulogu boga kao beskonačna i autonomna. Bilo je šokantno, međutim, da je logika mogla dokazati da matematika ne može biti njen vlastiti konačni temelj.
Hrišćani nisu trebali biti iznenađeni. Prva dva uslova su tačna za matematiku: ona je važeća i dosljedna. Ali samo Bog ispunjava treći uslov. Samo je On potpun i stoga samozavisan (autonoman). Samo Bog je „sve u svemu“ (1. Korinćanima 15:28), „početak i kraj“ (Otkrivenje 22:13). Bog je konačni autoritet (Jevrejima 6:13), a u Hristu su skrivena sva blaga mudrosti i znanja (Kološanima 2:3).
U svakom sistemu će uvijek postojati izjava za koju se ne može pokazati da je istinita ili lažna. Iz hrišćanske perspektive, Godel je dokazao da je potpuno znanje nedostižno. Uvijek će postojati pitanje koje će zbuniti najveće umove; uvijek će postojati nerješivi problem. Godelov dokaz pokazuje da ni matematika ni logika ne mogu biti temelj za matematiku.
Napori da se oporave od posljedica ove atomske eksplozije nastavljaju se i danas. Luicen Brauer (Luitzen Brouwer, 1882–1966) se okrenuo ljudskom umu kao temelju matematike. Umjesto da Bogu da njegovo pravo mjesto, Brauer je redefinisao drugi uslov, doslednost. Predložio je treću kategoriju vrijednosti istine. Osim istinitog i lažnog, dodao je i mogućnost, koju je nazvao „neodređenom“.
Njegova filozofija, nazvana intuicionizam, čini ljudsku intuiciju osnovom matematike. Odbacio je ideju da se matematika otkriva, a umjesto toga je promovisao gledište da matematiku izmišljaju ljudi. Po njegovom mišljenju, ljudski um je temelj matematike umjesto Boga.[2]
Mnogi sekularni matematičari sada prihvataju intuicionizam. Međutim, mnogi drugi u tome vide nerješive probleme. Ako je matematika izum mnogih ljudskih umova, zašto bi se onda svi ovi umovi složili oko toga šta je ispravno? Ovo je besmisleno, ako je matematika samo umjetnost. Da li se svi umjetnici slažu oko toga kako slikati i šta treba slikati?
Drugo, zašto bi to bilo korisno u tolikim oblastima znanja, od biologije do psihologije, od inženjerstva do medicine, od hemije do biznisa? Da li su i naši umovi stvorili univerzum?
Treće, zašto je ista misao pala na pamet različitim misliocima nezavisno toliko puta? Budući da dva umjetnika nikada nisu zamislila istu sliku nezavisno, pronalazak istih matematičkih koncepata pukim intuicionizmom izgleda smiješno. Kako su i Njutn i Lajbnic došli do računa odvojeno? Kako su Gaus, Riman i Lobačevski došli do neeuklidske geometrije nezavisno, kao odgovor na neuspjehe matematičara u prošlosti – tokom stotina godina beskorisnog rada – da dokažu Euklidov paralelni postulat?
Ovi problemi su posmrtno zvono za intuicionizam. Sekularni matematičari koji razumiju ovaj neuspjeh često se vraćaju na logicizam ili formalizam, iako se već pokazalo da je to nemoguće. Nemaju kuda drugo osim Bogu.
Biblijska filozofija matematike, nasuprot tome, počinje s Bogom, koji je odbrojao dane stvaranja kako je zabilježeno u Postanju 1. Osnivač istinske filozofije matematike je Bog, a svrha matematike je slava Božja.
DA LI JE MATEMATIKA SAMO ALAT?
Izgleda da postoji jedna stvar oko koje se hrišćani i ateisti mogu složiti – matematika. Kao i prljavština i kamenje, nije ni dobro ni loše – to je samo alat. 2 + 2 = 4 bez obzira u šta vjerujete. Ne treba vam Biblija da biste cijenili i pravilno koristili alate… zar ne?
Često sam čuo hrišćane, čak i hrišćanske učitelje, kako kažu da su neki aspekti našeg života, kao što je matematika, samo alati, ni dobri ni loši. Za njihovo potpuno razumijevanje i korišćenje nije potrebna nikakva „hrišćanska perspektiva“.
Kada su pritisnuti s razlogom, oni često kažu nešto poput ovoga: „Stvari poput matematike mogu se koristiti za dobro ili zlo – tako da moraju biti neutralne. Pomoću matematike možete izgraditi most da pomognete putnicima (dobro), ili možete napraviti atomsku bombu da ubijete ljude (zlo). Dakle, matematika je amoralna, kao kamenje. Sa kamenjem možete izgraditi kuću ili ubiti ljude.“
Ovo može zvučati razumno na površini, ali ne uzima u obzir ono što Biblija kaže o tome „Šta je dobro?“
Isus je rekao: „Niko nije dobar osim jedinoga Boga“ (Marko 10:18), budući da je jedini Bog savršen, potpun i bez moralne iskvarenosti. Ipak, Sveto pismo takođe koristi riječ dobro da opiše Božju tvorevinu (1. Timoteju 4:4) i one koji žive pobožno (3. Jovanova 1:11). Ovaj širi smisao „odraza Boga“ u usklađivanju sa svrhom Božjeg dizajna je smisao koji je ovdje relevantan.
Sve što je Bog stvorio bilo je „veoma dobro“ ili preciznije „funkcionalno“ i Bog želi da se njegova slava vidi u svakom malom detalju našeg života – „bilo da jedete ili pijete, ili šta god radite“ (1. Korinćanima 10:31). Ova istina može promijeniti vaš pogled na sve ljudske poduhvate, uključujući i slobodne umjetnosti (proučavanje jezika, muzike, astronomije, biologije, logike,… i matematike).
Božja „veoma funkcionalna“ kreacija
Argument da je matematika neutralna poput kamenja zanemaruje činjenicu da je Bog svu tvorevinu, čak i stijene, nazvao dobrim kada ih je stvorio (Postanje 1:10-13). Na kraju Sedmice stvaranja, proglasio je i stijene veoma dobrim kao dio svog svrhovitog i funkcionalno povezanog stvaranja (Postanje 1:31).
Štaviše, Božje tvorevine su i dalje dobre, čak i nakon prokletstva (vidi 1. Timoteju 4:4 ). Isus je rekao da ako ga ljudi ne hvale, kamenje će vikati (Luka 19:40). Dakle, kamenje je dobro; ono je od Boga namijenjeno da se koriste u dobre svrhe. Međutim, kao i sve drugo, može se zloupotrijebiti za zlo. U stvari, Bog je kamenje proglasio dobrim prije nego što je stvorio osobu da ih koristi za bilo šta, bilo dobro ili zlo.
Dakle, da li je Bog stvorio matematiku (pravila koja upravljaju brojevima i jednačinama) kao što je stvorio kamenje? On je svakako napravio brojeve, osnovu matematike, jer je brojao dane stvaranja. Kada je Bog izjavio da je sve što je napravio „veoma dobro“, to je uključivalo i vidljive i nevidljive stvari, kao što su jezik i brojevi. Sam Božji dizan zemlje i univerzuma morao je imati nevjerovatnu matematičku kompleksnost.
Brojevi su, dakle, poput kamenja – oboje je dobro! Oboje je od Boga namijenjeno za dobro, ali oboje se može zloupotrijebiti za zlo.
U stvari, sve slobodne umjetnosti su dobre. Biblija, eksplicitno ili implicitno, sadrži svaki prije Adamovog pada: brojeve za matematiku, riječi za govor i jezik, dane za istoriju, pjevanje za muziku (vidi Jov 38:7), zvijezde za astronomiju, životinje za biologiju i uslovne izjave za logiku (ako jedeš…, umrijećeš). Božje stvaranje (Postanje 1-3) daje svakoj od slobodnih umjetnosti dobru osnovu.
Dakle, upotreba nečega se razlikuje od njegove prirode. Samo zato što se nešto može koristiti za dobro ili zlo ne čini stvar amoralnom. Zapravo, Sveto pismo ne podržava neutralnost bilo čega. Bog je sve učinio dobrim. Ljudi u ovom palom svijetu izopačuju njihovu dobru svrhu. Bog još uvijek namjerava da koristimo sve Njegove resurse da Ga proslavimo, i tako su oni dobri i njihove svrhe su dobre, sve dok ih ne zloupotrijebimo protivno Božjoj namjeri.
Dobra upotreba matematike
Matematika je dobra na mnogo načina i trebali bismo svjesno cijeniti njenu vrijednost. Prvo i najvažnije, karakteristike matematike odražavaju karakteristike Boga, njenog Stvoritelja. One nam pomažu da Ga bolje razumijemo. Razmotrite samo tri primjera.
- Matematika je istinita. Većina učenika to zna, jer uvijek postoji tačan odgovor. Bog je istinit (Ponovljeni zakoni 32:4).
- Matematika je uredna. Algebra zahtijeva aritmetiku, trigonometrija zahtijeva algebru, itd. Bog je uredan (1. Korinćanima 14:40).
- Matematika nas uči o beskonačnosti. Za bilo koji broj, bez obzira koliko velik, uvijek možete pronaći veći broj dodavanjem jednog. Isto tako, bez obzira koliko je decimala ili razlomak mali, uvijek možete pronaći manji broj tako što ćete ga podijeliti na pola. Beskonačnost je takođe uključena u ponavljanje decimala, nizova, serija i geometrije (linije se protežu beskonačno). Beskonačnost dobija još više pažnje u računima (ograničenja) i veličinama skupova (kardinalnost). Od slobodnih umjetnosti, matematika nas najbolje uči o beskonačnosti. Bog je beskonačan (Psalam 147:5).
Matematika je takođe neophodna za ispunjavanje Božjeg mandata vladavine, koji je prvobitno dat Adamu (Postanje 1:28). Matematika je važan alat u izgradnji svega, od teleskopa do brana. Bog je naredio Mojsiju da koristi matematiku u popisu nacije (Brojevi 1), a takođe je naredio zanatlijama da koriste matematiku za izgradnju tabernakula prema tačnim specifikacijama (Izlazak 25:9-28). Svi ljudi imaju Bogom datu vlast nad tvorevinom (Postanje 1:28). Matematički obrasci i izračuni su takođe vrlo važni u tumačenju biblijskih vremenskih proročanstava (Ezekijel 4:5-6; Danilo 8:14; 7:25; 9:24-27; Otkrivenje 11:2-3; 12:14; 13:5; itd.).
Takođe vidimo vrijednost matematike u našim životima po njenim plodovima. Isus je rekao da ćete prepoznati „drvo po plodu njegovom“ (Matej 12:33). Koji se plodovi beru sa drveta matematike, posebno u školi? Prvo, matematika razvija visoko poštovanje prema istini i tačnosti, koje odražavaju Boga, koji je istinit i tačan (Brojevi 23:19; Ezekiel 45:10). Zatim, svaki učenik se na kraju uhvati u koštac sa naizgled nemogućim problemom. Ovo razvija istrajnost, božansku osobinu (Efescima 6:18). Konačno, matematika razvija sposobnosti razmišljanja. Uprkos pritužbama („Nikad neću koristiti ove stvari!“), učenici će rasuđivati i rješavati probleme tokom života. Bog je Bog razuma (Isaija 1:18) i od nas očekuje da usavršimo svoj um (Propovjednik 10:10; Marko 12:24–27; Jovan 3:10 ).
Kako Božji dobar temelj treba da bude ugrađen u naše živote? Na kraju krajeva, zar ne bismo trebali sve proučavati u svjetlu Božjih namjera? Hrišćanski učitelji ne moraju da oduzimaju mnogo vremena mehanici matematike, ali treba da se pozabave njenim značajem. Trebalo bi da se pozivaju na Bibliju za moral, temelje i filozofiju svakog predmeta.
Dobro obrazovanje ne znači samo „ostaviti sve loše stvari“. U stvari, najgora greška u sekularnim časovima je što izostavljaju Boga. To zlo gledište je u srži moderne humanističke religije. Učiti druge da istine postoje bez Boga – umjesto da Bogu dajemo slavu za sve što On jeste i čini – je idolopoklonstvo.
Hrišćanski roditelji i učitelji koji nastoje vratiti Božju Riječ u središte nauke trebali bi učiniti isto u svakoj disciplini, uključujući matematiku. Ovo je pravi znak hrišćanina – davati Bogu slavu u svemu.
DA LI JE NEVJEROVATNOST NAJBOLJI ARGUMENT PROTIV EVOLUCIJE?
Da li ste ikada čuli da bi milioni majmuna koji nasumično kucaju na kraju proizveli kompletna Šekspirova djela? To je uobičajena ilustracija koncepta da bi se život mogao razviti ni iz čega, ako se ima dovoljno vremena.
Je li to istina? Da li je moguće da bi majmuni mogli bez greške otkucati cijelog Šekspira? Većina nas bi rekla: „Ne, očigledno je nemoguće.“ Ali matematička vjerovatnoća nije nula.
Kreacionisti ispravno tvrde da je nasumična evolucija života iz neživota toliko nevjerovatna da je praktično nemoguća. Ali vjerovatnoća tehnički nije nula, što, „s obzirom na dovoljno vremena“, ostavlja rupu za evoluciju.
Argumenti vjerovatnoće nikada nisu konačni. Na primjer, vjerovatnoće se koriste za predviđanje vremena. Je li vaša lokalna prognoza ikada bila pogrešna?
Pristalice evolucije tvrde da su argumenti o nevjerovatnosti evolucije pojednostavljeni. Mnogo se više dešava, kažu, od jednostavnih nasumičnih kombinacija. Dakle, nevjerovatnost ne uvjerava okorjele evolucioniste da napuste svoje gledište.
Kao hrišćanin, više volim dedukcije (kao u dokazima geometrije) za opovrgavanje evolucije. Nijedan argument neće uvjeriti odlučnog skeptika, ali za razliku od vjerovatnoća, deduktivni argumenti su nepropusni, sve dok počinju s ispravnim pretpostavkama. Evo dobrog deduktivnog argumenta:
- Ljudski grijeh je donio smrt na svijet (prema Bibliji).
- Teorija evolucije zahtijeva milione godina smrti prije nego što su ljudi postali živi.
- Stoga, teorija evolucije i Biblija ne mogu obje biti istinite.
- Ako vjerujete u Bibliju, ovaj deduktivni argument opovrgava evoluciju.
Čemu onda argumenti vjerovatnoće, ako nisu uvjerljivi dokazi? Vratimo se vremenu.
Farmer traži istinu o sjutrašnjem vremenu. Povremena greška je bolja nego nikakva prognoza. Isto tako, ljudi koji traže istinu, koji gledaju na obje strane argumenta, mogu koristiti vjerovatnoće da odmjere moguće ishode.
Sjećam se kada sam tražio istinu. Odrastao sam uronjen u evolucijske ideje, počevši od knjige o dinosaurusima koju sam pročitao u prvom razredu. Međutim, slika u knjizi ostavila je sumnje. Prikazivala je sablasne dinosauruse s natpisom: „Niko ne zna zašto su dinosaurusi nestali.“ U mojim dvadesetim godinama, argument vjerovatnoće me je podstaknuo da razmotrim stvaranje kao alternativu. Vjerovatnoća mi je pomogla da se prisjetim svojih sumnji i preispitam svoje pretpostavke.
Da li bi majmuni ikada mogli proizvesti cijelog Šekspira? Ne. Razmotrite samo prvih pet pritisaka na tastere. Od 64 uobičajena znaka (velika i mala slova, razmak i interpunkcija), majmun mora odabrati svih pet znakova. Vjerovatnoća je 1 naprema 1.073.741.824 (645). Za 50 znakova, to je 1 u 2,037 x 1090. Zamislite vjerovatnoću za kompletna Šekspirova djela!
Biološka evolucija je mnogo komplikovanija i daleko manje vjerovatna. Ali ove nevjerovatne brojke neće uvjeriti okorjelog skeptika da preispita svoje temeljne pretpostavke. Božja Riječ i sveti Duh su neophodni da bi pokrenuli srca, a ne samo argumenti o vjerovatnoći.
Dr Ron Tagliapietra
Dr Ron Tagliapietra stekao je diplomu iz matematičkog obrazovanja na Univerzitetu Bob Jones 1996. Autor je udžbenika matematike i logike iz BJU Press-a, kao i Matematike za slavu Božju.
_________________________
[1] James Nickel, Mathematics: Is God Silent? (Vallecito, California: Ross House Books), 1990, p.59.
[2] Vidi Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics (Toronto: Dover Publications), 1987.
